[2016년 운정고]

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[2학년 2학기 미적분2 중간]

부등식 [eqn: 2 ^{x ^{2}+1}} LEQ 8 CDOT 2 ^{x}]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [3.5점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

세 수 [eqn: A= {1over{2} rmlog_ sqrt { 2}5], [eqn: B=4 rm log _{4} root {3} of {10}], [eqn: C=rm log_{1over2} {1over4}] 중 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합은 [eqn: k]이다. [eqn: 4^k]의 값은? [3.6점]

① [eqn: 300]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 400]

④ [eqn: 450]	⑤ [eqn: 500]

[eqn: a>0], [eqn: a!=1]일 때, 두 함수 [eqn: f(x)= {a^x +a^-x}over2], [eqn: g(x)= {a^x -a^-x} over2]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고은 것은? [3.8점]

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2f(x)g(x)=g(2x)]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)g(x)]의 그래프는 원점대칭이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: LEFT { 2f(x)-g(x) RIGHT }left{ f(x)+2g(x)right}=2]의

해는 [eqn: x=1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

조건을 만족하는 함수 [eqn: f(x)=left(1overa right)^ |x-2|+1]의 최댓값은? [3.9점]

(가) 정의역이 [eqn: left{`x` |` -1 le x le 3right}]이다.

(나) 최솟값이 [eqn: 2]이다.

(다) [eqn: a>0], [eqn: a !=0]

① [eqn: 1over16]	② [eqn: 1over{root{4} of{2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root 4 of 2]	⑤ 16

조건을 만족하는 함수 [eqn: f(x)=23^x]에 대하여 수열 [eqn: left{a_n right}]을
[eqn: a_n = (f^n (23)의```일의```자릿수)]로 정의한다.

이 때, [eqn: lim _{ x->0} {{{rmln}(1+a_23 x)} over {x}]의 값은? [4.0점]

(가) [eqn: f ^{1} LEFT ( x)=f(x) RIGHT .]

(나) [eqn: f^n (x) = (f^n-1 CIRCf)(x)] ([eqn: n=2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots])

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x) = cases { ```````````{rmln}bx ``````````````````(x`>1) #ax^2 +2x +1```(x le 1)]가 [eqn: x=1]에서 미분 가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a]와 [eqn: {rmln}b]의 곱의 값은? [3.6]

① [eqn: - 3over2]	② [eqn: - 5over4]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - 3over4]	⑤ [eqn: - 1over2]

함수 [eqn: f(x) = x {rmlog}_3 ax^2][eqn: (x>0)]에 대하여 [eqn: lim _{ x->1 } {{f(x)-{rmlog}_3 a} over {x-1} } =2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 9overe^2]	② [eqn: 3overe]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3e]	⑤ [eqn: 9e^2]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = {rmcos} {2n} over3 pi]라고 할 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{100 }a_k]의 값은? [3.5점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x) = {rmsin}^2 x + 3{rmsin}x{rmcos}x +k{rmcos}^2 x]의 최댓값이 [eqn: M], 최솟값이 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M-m= sqrt { 13}]일 때, [eqn: k]의 값의 합은? [3.6점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: -pi < x < pi]일 때, 부등식
[eqn: sqrt {3} rm cos it ^{2} LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) +x-(1+ sqrt {3} ) rm sin it x rm cos it x+ rm sin it ^{2} LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) +x<0]
의 해는 [eqn: alpha < x< beta] 또는 [eqn: gamma < x < delta]이다. 이때 [eqn: alpha + beta + gamma + delta]의 값은? (단, [eqn: beta le gamma]) [3.7점]

① [eqn: - 7over6 pi]	② [eqn: -pi]	③ [eqn: - 5over6 pi]

④ [eqn: - 2 over3 pi]	⑤ [eqn: - 1over2 pi]

함수 [eqn: f(x) = a {rmcos}left{b(x-c)right} +d]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: abcd`]의 최솟값은? [4.0점]

(가) [eqn: M+m=4], [eqn: M-m=6]

(나) [eqn: f(pi) = f left({pi over3}right) = 7over2]

(다) [eqn: 0<b], [eqn: 0 le c < {piover2}]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 16pi]

그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: y- { sqrt { 3}} over3 x] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 접하고 [eqn: x]축에 접하는 서로 다른 두 원이 있다. 두 원 중 큰 원과 작은 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R], [eqn: r]라 할 때, [eqn: {R}over{r}]의 값은? [3.9점]

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: 4+ sqrt { 3}]	③ [eqn: 4sqrt { 3}]

④ [eqn: 4+7 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 7+4 sqrt { 3}]

그림과 같이 좌표평면 위의 직선 [eqn: l : 3x- sqrt { 2}y=0]이 있다. [eqn: a>0]인 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: {rmP}(a,```b)]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 선문 [eqn: rmPH]의 삼등분점을 점 [eqn: rmH]에서 가까운 순서대로 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: {rmcos}( ANGLErmPOH -ANGLErmBOA)]의 값은? [3.9점]

① [eqn: {sqrt { 11}} over 33]	② [eqn: {5 sqrt { 11}} over 33]	③ [eqn: {7 sqrt {11} }over33]

④ [eqn: {5 sqrt { 22}} over 33]	⑤ [eqn: {6 sqrt { 11}}over33]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmA_0 A_1 B_1]이 있다. 점 [eqn: rmA_1]에서 선분 [eqn: rmA_0 B_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB_2]라 하고, 선분 [eqn: rm A_0 A_1] 위의 [eqn: bar {rmA_1 B_2} = bar {rmA_1 A_2}]인 점 [eqn: rmA_2]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rm A_1 A_2 B_2]를 그린다. 점 [eqn: rmA_2]에서 선분 [eqn: rmA_1 B_2]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB_3]이라 하고, 선분 [eqn: rmA_1 A_2] 위의 [eqn: bar{ rmA_2 B_3} = bar{rmA_2 A_3]인 점 [eqn: rmA_3]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmA_2 A_3 B_3]을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: {rm A} _{n}]에서 선분 [eqn: {rmA}_n-1{rm A}_n] 위의 [eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n+1} = bar {{rmA}_n {rmA}_n+1}]인 점 [eqn: {rmA}_n+1]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: {rm A}_n {rmA}_n+1 {rmB}_n+1]을 그린다. 부채꼴 [eqn: {rmA}_n-1 {rmA}_n {rmB}_n]의 호 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n]의 길이를 [eqn: l_n], [eqn: A(theta) = sum _{ n=1} ^{ inf}l_n]라 할 때,
[eqn: lim _{theta ->0 } {A(theta) {1-{rmsin}theta{rmcos}theta}over{{rmsin}theta}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta <{pi}over2]이다.) [4.0점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2+pi]

④ [eqn: 2(2+pi)]	⑤ [eqn: 4(1+pi)]

함수 [eqn: f(x)=2{rmcos}x]에 대하여
[eqn: g(x)=lim_{h->0} {{f(x+3h)+f(x-3h)-2f(x)}overh^2]
일 때, [eqn: sum _{k=1}^{6}g'left({k}over{4} pi right)]의 값은? [3.8점]

① [eqn: -9 sqrt { 2}]	② [eqn: -9 sqrt { 2}+18]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 9sqrt { 2}-`18]	⑤ [eqn: 9sqrt { 2}]

함수 [eqn: f(x)= {cases{a rm cos it {pi } over {2} x+3x-1&```(x GEQ 0)#be ^{x+1}&```(x<0)}}]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [3.5점]

① [eqn: 4-3e^-1]	② [eqn: 4-2e^-1]	③ [eqn: 2-3e^-1]

④ [eqn: 2-2e^-1]	⑤ [eqn: 4-e^-1]

서술형

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= a^x+1]과 같이 [eqn: y=b^x]이 직선 [eqn: x=t]([eqn: t ge1])와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 조건을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수를 구하는 과정과 정답을 서술하시오. 예를 들어, [eqn: a=3], [eqn: b=4]는 다음 조건을 만족시킨다. [10.0점]

(가) [eqn: 2 le a le 7], [eqn: 2 le b le 7]

(나) [eqn: t ge 1]인 어떤 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: bar {rmPQ} le 9]이다.

[eqn: 0 le x le {pi} over 2]에 대하여, [eqn: y= 9 {rmcos}^2 x + a {rmsin} x +5]의 최댓값이 [eqn: 18]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

두 함수 [eqn: f(x) = lim_{n->inf} {{2x^2n+2 + sqrt { 3}} over { sqrt { 3}x^2n +2 }], [eqn: g(x)={rmsin}(2k pi x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 실근을 갖지 않을 때, [eqn: 30k]의 최댓값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

지름의 길이가 [eqn: 4]이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지름의 양 끝점으로 하는 반원 위의 점을 [eqn: rmC], [eqn: angle rmDAB = {pi} over2]를 만족시키는 선분 [eqn: bar{rmBC}]의 연장선 위의 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: angle rm ABC = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이를 [eqn: S], 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 반지름을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: r], [eqn: S], [eqn: lim_theta->0} {{S} over {r theta^2}]의 값을 각각 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[2016년 운정고]

[2학년 2학기 미적분2 중간]

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